MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie cu baza pătrată trebuie să aibă volumul de 32 cm³. Determinați dimensiunile bazei (latura) și înălțimea cutiei astfel încât suprafața totală (inclusiv capacul) să fie minimă. Folosind derivatele, arătați că funcția suprafaței este descrescătoare până la punctul critic și crescătoare după, iar că este convexă în acel punct.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Fie xx latura bazei (în cm) și hh înălțimea (în cm). Volumul: V=x2h=32V = x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Suprafața totală: S(x)=2x2+4xh=2x2+4x⋅32x2=2x2+128xS(x) = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = 2x^2 + \frac{128}{x}, pentru x>0x > 0.
23 puncte
Calculați derivata întâi: S′(x)=4x−128x2S'(x) = 4x - \frac{128}{x^2}. Rezolvați S′(x)=0S'(x) = 0: 4x−128x2=0⇒4x3=128⇒x3=32⇒x=323=2434x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 4x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4} cm (aproximativ 3.174 cm).
32 puncte
Studiați semnul lui S′(x)S'(x): pentru x<243x < 2\sqrt[3]{4}, S′(x)<0S'(x) < 0 (S descrescătoare); pentru x>243x > 2\sqrt[3]{4}, S′(x)>0S'(x) > 0 (S crescătoare).
42 puncte
Calculați derivata a doua: S′′(x)=4+256x3S''(x) = 4 + \frac{256}{x^3}. Pentru x=243x = 2\sqrt[3]{4}, S′′(x)>0S''(x) > 0, deci funcția este convexă în acel punct, confirmând că este un minim.
51 punct
Dimensiunile optime: x=243x = 2\sqrt[3]{4} cm, h=32(243)2=324163=8163=243h = \frac{32}{(2\sqrt[3]{4})^2} = \frac{32}{4\sqrt[3]{16}} = \frac{8}{\sqrt[3]{16}} = 2\sqrt[3]{4} cm (aceeași ca latura, deci cutia este un cub dacă se rotunjește).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.