MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=3i⃗+αj⃗−2k⃗\vec{u} = 3\vec{i} + \alpha \vec{j} - 2\vec{k} și v⃗=βi⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = \beta \vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}, unde α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}. Determinați α\alpha și β\beta astfel încât u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 și ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣||\vec{u}|| = ||\vec{v}||. Apoi, pentru valorile găsite, calculați unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția pentru produsul scalar: u⃗⋅v⃗=3β+4α−2=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\beta + 4\alpha - 2 = 0.
23 puncte
Scriem condiția pentru norme: ∣∣u⃗∣∣2=9+α2+4=α2+13||\vec{u}||^2 = 9 + \alpha^2 + 4 = \alpha^2 + 13, ∣∣v⃗∣∣2=β2+16+1=β2+17||\vec{v}||^2 = \beta^2 + 16 + 1 = \beta^2 + 17. Egalam: α2+13=β2+17\alpha^2 + 13 = \beta^2 + 17.
32 puncte
Rezolvăm sistemul: din prima ecuație, β=2−4α3\beta = \frac{2 - 4\alpha}{3}. Substituim în a doua: α2+13=(2−4α3)2+17\alpha^2 + 13 = \left(\frac{2 - 4\alpha}{3}\right)^2 + 17. Simplificăm și obținem α=1\alpha = 1 sau α=−57\alpha = -\frac{5}{7}. Atunci β=−23\beta = -\frac{2}{3} sau β=187\beta = \frac{18}{7}.
42 puncte
Pentru fiecare pereche (α,β)(\alpha, \beta), avem u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, deci cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣=0\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| ||\vec{v}||} = 0, unde θ\theta este unghiul dintre vectori. Astfel, θ=90∘\theta = 90^\circ pentru ambele cazuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.