MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi este înscris într-un semicerc de rază RR, cu baza pe diametrul semicercului. a) Exprimați aria dreptunghiului în funcție de înălțimea sa hh. b) Folosind derivatele, determinați dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria. c) Studiați monotonia și convexitatea funcției arie în raport cu hh.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați baza dreptunghiului cu 2x2x și înălțimea cu hh. Din teorema lui Pitagora, x2+h2=R2x^2 + h^2 = R^2, deci x=R2−h2x = \sqrt{R^2 - h^2}. Aria este A(h)=2hR2−h2A(h) = 2h \sqrt{R^2 - h^2}, cu 0<h<R0 < h < R.
23 puncte
Calculați derivata A′(h)=2R2−h2−2h2R2−h2A'(h) = 2\sqrt{R^2 - h^2} - \frac{2h^2}{\sqrt{R^2 - h^2}}. Setați A′(h)=0A'(h)=0: 2R2−h2=2h2R2−h22\sqrt{R^2 - h^2} = \frac{2h^2}{\sqrt{R^2 - h^2}}, de unde R2−h2=h2R^2 - h^2 = h^2, adică h=R2h = \frac{R}{\sqrt{2}}.
32 puncte
Studiați semnul lui A′(h)A'(h): pentru 0<h<R20 < h < \frac{R}{\sqrt{2}}, A′(h)>0A'(h) > 0 (aria crescătoare); pentru R2<h<R\frac{R}{\sqrt{2}} < h < R, A′(h)<0A'(h) < 0 (aria descrescătoare). Maximul este la h=R2h = \frac{R}{\sqrt{2}}, cu baza 2x=2R2−(R2)2=2R2x = 2\sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{2}R.
42 puncte
Calculați A′′(h)A''(h): A′′(h)=−2hR2−h2−2h(R2−2h2)(R2−h2)3/2A''(h) = -\frac{2h}{\sqrt{R^2 - h^2}} - \frac{2h(R^2 - 2h^2)}{(R^2 - h^2)^{3/2}}. Pe intervalul (0,R)(0,R), A′′(h)<0A''(h) < 0, deci funcția A(h)A(h) este concavă (convexă în jos).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.