MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. Studiați monotonia funcției ff, determinați intervalele de convexitate și concavitate, aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Utilizați aceste rezultate pentru a demonstra că inegalitatea x2ln⁡x≥−1ex^2 \ln x \geq -\frac{1}{e} este adevărată pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \ln x + x.
22 puncte
Rezolvați ecuația f′(x)=0f'(x)=0 obținând x=e−12x = e^{-\frac{1}{2}}, studiați semnul derivatei pentru a determina intervalele de monotonie: ff este descrescătoare pe (0,e−12)(0, e^{-\frac{1}{2}}) și crescătoare pe (e−12,∞)(e^{-\frac{1}{2}}, \infty).
32 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3.
42 puncte
Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0 obținând x=e−32x = e^{-\frac{3}{2}}, studiați semnul derivatei a doua pentru a determina convexitatea: ff este concavă pe (0,e−32)(0, e^{-\frac{3}{2}}) și convexă pe (e−32,∞)(e^{-\frac{3}{2}}, \infty), cu punct de inflexiune în x=e−32x = e^{-\frac{3}{2}}.
52 puncte
Din monotonia funcției, minimul absolut este f(e−12)=−12ef(e^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2e}, și deoarece −12e>−1e-\frac{1}{2e} > -\frac{1}{e}, inegalitatea x2ln⁡x≥−1ex^2 \ln x \geq -\frac{1}{e} este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.