MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff și determinați punctele de inflexiune. c) Arătați că ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte pentru orice m∈(−2,2)m \in (-2, 2).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x și se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se studiază semnul derivatei: f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcție strict crescătoare) și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) (funcție strict descrescătoare). Punctele de extrem sunt x=0x=0 (maxim local, f(0)=2f(0)=2) și x=2x=2 (minim local, f(2)=−2f(2)=-2).
23 puncte
Se calculează f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6 și se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1. Se studiază semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (funcție convexă) și f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (funcție concavă). Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.
34 puncte
Din studiul monotoniei, ff este strict crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0], strict descrescătoare pe [0,2][0,2], și strict crescătoare pe [2,∞)[2,\infty). Valorile extreme sunt f(0)=2f(0)=2 și f(2)=−2f(2)=-2. Pentru m∈(−2,2)m \in (-2,2), cum lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, aplicând proprietățile de continuitate și monotonie pe intervale, ecuația f(x)=mf(x)=m are o soluție în (−∞,0)(-\infty,0), una în (0,2)(0,2) și una în (2,∞)(2,\infty), deci trei soluții reale distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.