MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și de inflexiune. c) Aplicați rezultatele pentru a determina valorile reale ale lui mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivatele: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Studiem semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=0x=0 și x=2x=2; f′(x)>0f'(x)>0 pe (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty,0) \cup (2,\infty), deci ff crescătoare; f′(x)<0f'(x)<0 pe (0,2)(0,2), deci ff descrescătoare. Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1; f′′(x)<0f''(x)<0 pe (−∞,1)(-\infty,1), deci ff concavă; f′′(x)>0f''(x)>0 pe (1,∞)(1,\infty), deci ff convexă.
32 puncte
Punct de maxim local la x=0x=0, f(0)=4f(0)=4; punct de minim local la x=2x=2, f(2)=0f(2)=0; punct de inflexiune la x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.
42 puncte
Ecuația f(x)=mf(x)=m are trei soluții reale distincte dacă mm este între valorile minimului și maximului local, adică 0<m<40 < m < 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.