MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} trei vectori necoplanari în spațiu. Arătați că vectorul d⃗=(a⃗⋅b⃗)c⃗+(b⃗⋅c⃗)a⃗+(c⃗⋅a⃗)b⃗\vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} este perpendicular pe a⃗+b⃗+c⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}. Determinați apoi ∥d⃗∥\|\vec{d}\| în funcție de ∥a⃗∥\|\vec{a}\|, ∥b⃗∥\|\vec{b}\|, ∥c⃗∥\|\vec{c}\| și unghiurile dintre vectori.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează d⃗⋅(a⃗+b⃗+c⃗)=(a⃗⋅b⃗)c⃗⋅(a⃗+b⃗+c⃗)+(b⃗⋅c⃗)a⃗⋅(a⃗+b⃗+c⃗)+(c⃗⋅a⃗)b⃗⋅(a⃗+b⃗+c⃗)\vec{d} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}). Folosind distributivitatea și comutativitatea produsului scalar, se arată că suma este zero.
24 puncte
Se calculează ∥d⃗∥2=d⃗⋅d⃗\|\vec{d}\|^2 = \vec{d} \cdot \vec{d}. Se înlocuiește d⃗\vec{d} și se dezvoltă, obținând o expresie care implică a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}, b⃗⋅c⃗\vec{b} \cdot \vec{c}, c⃗⋅a⃗\vec{c} \cdot \vec{a}, și pătratele normelor.
32 puncte
Se exprimă a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θab\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta_{ab}, etc., și se simplifică ∥d⃗∥2\|\vec{d}\|^2 în funcție de norme și cosinusuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.