MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x \ln x - x + 1. Să se determine intervalele de monotonie și convexitate ale funcției, apoi să se arate că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x și derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1, deci funcția este strict crescătoare pe (1,∞)(1, \infty), și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1, deci funcția este strict descrescătoare pe (0,1)(0,1).
32 puncte
Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x > 0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
43 puncte
Din monotonia funcției, minimul absolut este atins în x=1x=1, unde f(1)=0f(1)=0. Întrucât funcția este convexă, graficul se află deasupra tangentei în punctul de minim, deci f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x>0x > 0. Suma: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.