MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un produs, iar profitul său (în mii de lei) este dat de funcția P(x)=−x3+12x2−36x+20P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 20, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități), cu x≥0x \geq 0. Determinați cantitatea de produs care maximizează profitul și studiați convexitatea funcției profit pe domeniul dat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi a funcției profit: P′(x)=−3x2+24x−36P'(x) = -3x^2 + 24x - 36, și găsiți punctele critice rezolvând P′(x)=0P'(x)=0, obținând x=2x=2 și x=6x=6.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: P′(x)>0P'(x) > 0 pe (2,6)(2,6) (funcție crescătoare), P′(x)<0P'(x) < 0 pe (0,2)∪(6,∞)(0,2) \cup (6,\infty) (funcție descrescătoare). Punctul x=2x=2 este minim local, P(2)=4P(2)=4, iar x=6x=6 este maxim local, P(6)=20P(6)=20. În contextul problemei, pentru x≥0x \geq 0, profitul este maxim la x=6x=6 cu valoarea 20 mii lei.
32 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−6x+24P''(x) = -6x + 24, și studiați semnul: P′′(x)>0P''(x) > 0 pe (−∞,4)(-\infty,4) (convexă), P′′(x)<0P''(x) < 0 pe (4,∞)(4,\infty) (concavă). Pe domeniul x≥0x \geq 0, funcția este convexă pe [0,4)[0,4) și concavă pe (4,∞)(4,\infty).
43 puncte
Discutați convexitatea: pe intervalul [0,4)[0,4), profitul are o rată de schimbare crescătoare, indicând convexitate, iar pe (4,∞)(4,\infty), rata de schimbare este descrescătoare, indicând concavitate, cu punct de inflexiune la x=4x=4 unde se schimbă convexitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.