MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} și v⃗=zi⃗+tj⃗\vec{v} = z\vec{i} + t\vec{j} care verifică sistemul: {u⃗+2v⃗=5i⃗−j⃗3u⃗−v⃗=4i⃗+7j⃗\begin{cases} \vec{u} + 2\vec{v} = 5\vec{i} - \vec{j} \\ 3\vec{u} - \vec{v} = 4\vec{i} + 7\vec{j} \end{cases}. a) Determinați componentele x,y,z,tx, y, z, t. b) Calculați ∣u⃗∣|\vec{u}|, ∣v⃗∣|\vec{v}| și unghiul α\alpha dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. c) Demonstrați că u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Scriem sistemul în funcție de componente: {x+2z=5y+2t=−13x−z=43y−t=7\begin{cases} x + 2z = 5 \\ y + 2t = -1 \\ 3x - z = 4 \\ 3y - t = 7 \end{cases}. Rezolvând, se obține x=2,y=3,z=1,t=−2x=2, y=3, z=1, t=-2.
22 puncte
∣u⃗∣=x2+y2=4+9=13|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}, ∣v⃗∣=z2+t2=1+4=5|\vec{v}| = \sqrt{z^2 + t^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}.
32 puncte
u⃗⋅v⃗=xz+yt=2⋅1+3⋅(−2)=2−6=−4\vec{u} \cdot \vec{v} = xz + yt = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 2 - 6 = -4. Atunci cos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=−413⋅5=−465\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-4}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{4}{\sqrt{65}}, deci α=arccos⁡(−465)\alpha = \arccos\left(-\frac{4}{\sqrt{65}}\right).
42 puncte
Pentru a demonstra independența liniară, arătăm că u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} nu sunt coliniari. De exemplu, verificăm că determinantul matricei formată din componente este nenul: ∣231−2∣=2⋅(−2)−3⋅1=−4−3=−7≠0\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -4 - 3 = -7 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.