MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieIdentități algebrice
Fie u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} doi vectori nenuli în plan, astfel încât ∣u⃗∣=3|\vec{u}| = 3, ∣v⃗∣=4|\vec{v}| = 4 și unghiul dintre ei este θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}. a) Calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}| și ∣u⃗−v⃗∣|\vec{u} - \vec{v}|. b) Demonstrați identitatea ∣u⃗+v⃗∣2+∣u⃗−v⃗∣2=2(∣u⃗∣2+∣v⃗∣2)|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2) pentru orice vectori u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. c) Utilizând rezultatele de la a) și b), determinați valoarea expresiei E=∣u⃗+v⃗∣2∣u⃗−v⃗∣2E = \frac{|\vec{u} + \vec{v}|^2}{|\vec{u} - \vec{v}|^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
14 puncte
Calculăm produsul scalar u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ=3⋅4⋅cos⁡π3=6\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = 3 \cdot 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 6. Apoi ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗=9+16+12=37|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = 9 + 16 + 12 = 37, deci ∣u⃗+v⃗∣=37|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{37}. Similar, ∣u⃗−v⃗∣2=9+16−12=13|\vec{u} - \vec{v}|^2 = 9 + 16 - 12 = 13, deci ∣u⃗−v⃗∣=13|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{13}.
23 puncte
Pentru demonstrarea identității, folosim definiția: ∣u⃗+v⃗∣2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=u⃗⋅u⃗+v⃗⋅v⃗+2u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} și ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v}. Adunând cele două relații, obținem ∣u⃗+v⃗∣2+∣u⃗−v⃗∣2=2(∣u⃗∣2+∣v⃗∣2)|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2).
32 puncte
Din step 1, avem ∣u⃗+v⃗∣2=37|\vec{u} + \vec{v}|^2 = 37 și ∣u⃗−v⃗∣2=13|\vec{u} - \vec{v}|^2 = 13, deci E=3713E = \frac{37}{13}.
41 punct
Concluzie: Valoarea expresiei este E=3713E = \frac{37}{13}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.