MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Se dau punctele A(1,2), B(4,6), C(6,3). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB}, BC⃗\vec{BC}, și CA⃗\vec{CA} și lungimile lor. b) Folosind produsul scalar, determinați măsurile unghiurilor triunghiului ABC. c) Aflați coordonatele centrului de greutate și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm vectorii: AB⃗=(4−1)i⃗+(6−2)j⃗=3i⃗+4j⃗\vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (6-2)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j}, BC⃗=(6−4)i⃗+(3−6)j⃗=2i⃗−3j⃗\vec{BC} = (6-4)\vec{i} + (3-6)\vec{j} = 2\vec{i} - 3\vec{j}, CA⃗=(1−6)i⃗+(2−3)j⃗=−5i⃗−j⃗\vec{CA} = (1-6)\vec{i} + (2-3)\vec{j} = -5\vec{i} - \vec{j}. Lungimile: ∣AB⃗∣=32+42=5|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣BC⃗∣=22+(−3)2=13|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}, ∣CA⃗∣=(−5)2+(−1)2=26|\vec{CA}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}.
23 puncte
Pentru unghiurile triunghiului, folosim produsul scalar: de exemplu, cos⁡A=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}, unde AC⃗=−CA⃗=5i⃗+j⃗\vec{AC} = -\vec{CA} = 5\vec{i} + \vec{j}. Calculăm AB⃗⋅AC⃗=3⋅5+4⋅1=19\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3\cdot5 + 4\cdot1 = 19, ∣AC⃗∣=26|\vec{AC}| = \sqrt{26}, deci cos⁡A=19526\cos A = \frac{19}{5\sqrt{26}}, apoi A=arccos⁡(19526)A = \arccos\left(\frac{19}{5\sqrt{26}}\right). Similar pentru unghiurile B și C, folosind vectorii corespunzători.
32 puncte
Centrul de greutate G are coordonatele G(1+4+63,2+6+33)=G(113,113)G\left(\frac{1+4+6}{3}, \frac{2+6+3}{3}\right) = G\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right).
42 puncte
Aria triunghiului se calculează cu formula: Aria=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣=12∣1(6−3)+4(3−2)+6(2−6)∣=12∣3+4−24∣=12⋅17=8.5Aria = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = \frac{1}{2} |1(6-3) + 4(3-2) + 6(2-6)| = \frac{1}{2} |3 + 4 - 24| = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.