MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=3i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, și c⃗=mi⃗+nj⃗+2k⃗\vec{c} = m\vec{i} + n\vec{j} + 2\vec{k} în spațiu. a) Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} și produsul vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}. b) Determinați valorile reale ale lui mm și nn pentru care vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c} sunt coplanari. c) Pentru m=0m=0 și n=1n=1, calculați volumul tetraedrului cu vârfurile în originea O(0,0,0)O(0,0,0) și în punctele AA, BB, CC având vectorii de poziție a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅(−1)+(−1)⋅1=3−2−1=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 3 - 2 - 1 = 0, deci vectorii sunt ortogonali; a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗12−13−11∣=i⃗(2⋅1−(−1)⋅(−1))−j⃗(1⋅1−(−1)⋅3)+k⃗(1⋅(−1)−2⋅3)=i⃗(2−1)−j⃗(1+3)+k⃗(−1−6)=i⃗−4j⃗−7k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = \vec{i}(2 - 1) - \vec{j}(1 + 3) + \vec{k}(-1 - 6) = \vec{i} - 4\vec{j} - 7\vec{k}.
23 puncte
Coplanaritatea se verifică cu produsul mixt: [a⃗,b⃗,c⃗]=∣12−13−11mn2∣=1((−1)⋅2−1⋅n)−2(3⋅2−1⋅m)+(−1)(3⋅n−(−1)⋅m)=(−2−n)−2(6−m)+(−1)(3n+m)=−14+m−4n[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ m & n & 2 \end{vmatrix} = 1((-1) \cdot 2 - 1 \cdot n) - 2(3 \cdot 2 - 1 \cdot m) + (-1)(3 \cdot n - (-1) \cdot m) = (-2 - n) - 2(6 - m) + (-1)(3n + m) = -14 + m - 4n; setăm [a⃗,b⃗,c⃗]=0⇒m−4n=14[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0 \Rightarrow m - 4n = 14.
34 puncte
Pentru m=0m=0 și n=1n=1, c⃗=j⃗+2k⃗\vec{c} = \vec{j} + 2\vec{k}; [a⃗,b⃗,c⃗]=−14+0−4=−18[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -14 + 0 - 4 = -18, deci volumul tetraedrului este 16∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=16⋅18=3\frac{1}{6} |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.