MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R} și a≠0a \neq 0. Se știe că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R} și are punctul de inflexiune în x=1x=1. a) Determinați a,b,c,da, b, c, d știind că tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă x=0x=0 are ecuația y=x+2y = x + 2. b) Studiați convexitatea funcției ff pe intervalele corespunzătoare.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din condiția ca ff să fie strict crescătoare pe R\mathbb{R}, derivata f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c trebuie să fie pozitivă pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Aceasta implică a>0a > 0 și discriminantul Δ=(2b)2−4⋅3a⋅c=4b2−12ac<0\Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac < 0.
22 puncte
Punctul de inflexiune în x=1x=1 implică f′′(1)=0f''(1) = 0. Calculăm f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b, deci 6a⋅1+2b=0⇒3a+b=06a \cdot 1 + 2b = 0 \Rightarrow 3a + b = 0.
32 puncte
Tangenta în x=0x=0 are ecuația y=x+2y = x + 2, deci panta este f′(0)=1f'(0) = 1 și f(0)=2f(0) = 2. Din f′(0)=c=1f'(0) = c = 1 și f(0)=d=2f(0) = d = 2.
42 puncte
Din ecuațiile obținute: c=1c=1, d=2d=2, 3a+b=03a+b=0, și din Δ<0\Delta < 0, avem 4b2−12a⋅1<0⇒b2<3a4b^2 - 12a \cdot 1 < 0 \Rightarrow b^2 < 3a. Înlocuind b=−3ab = -3a din 3a+b=03a+b=0, obținem (−3a)2<3a⇒9a2<3a(-3a)^2 < 3a \Rightarrow 9a^2 < 3a. Deoarece a>0a>0, împărțim la 3a3a: 3a<1⇒a<133a < 1 \Rightarrow a < \frac{1}{3}. Alegem, de exemplu, a=14a = \frac{1}{4}, atunci b=−3⋅14=−34b = -3 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}. Verificăm Δ:4⋅(−34)2−12⋅14⋅1=4⋅916−3=94−3=−34<0\Delta: 4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = 4 \cdot \frac{9}{16} - 3 = \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4} < 0, deci este corect. Astfel, f(x)=14x3−34x2+x+2f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + x + 2.
52 puncte
Studiem convexitatea: f′′(x)=6ax+2b=6⋅14x+2⋅(−34)=32x−32=32(x−1)f''(x) = 6ax + 2b = 6 \cdot \frac{1}{4} x + 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x-1). Atunci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1, deci ff este convexă pe (1,∞)(1, \infty), și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1, deci ff este concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.