MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗−3j⃗+k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} și b⃗=−i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k}. Determinați vectorul c⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} astfel încât a⃗⋅c⃗=5\vec{a} \cdot \vec{c} = 5 și b⃗×c⃗=0⃗\vec{b} \times \vec{c} = \vec{0}. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile în coordonate: a⃗⋅c⃗=2x−3y+z=5\vec{a} \cdot \vec{c} = 2x - 3y + z = 5 și b⃗×c⃗=0⃗\vec{b} \times \vec{c} = \vec{0} implică b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c} coliniari, deci există t∈Rt \in \mathbb{R} astfel încât c⃗=tb⃗\vec{c} = t\vec{b}.
23 puncte
Din c⃗=tb⃗\vec{c} = t\vec{b}, avem x=−t,y=4t,z=−2tx = -t, y = 4t, z = -2t. Înlocuim în ecuația produsului scalar: 2(−t)−3(4t)+(−2t)=52(-t) - 3(4t) + (-2t) = 5, adică −2t−12t−2t=5-2t -12t -2t = 5, deci −16t=5-16t = 5, t=−516t = -\frac{5}{16}.
32 puncte
Atunci c⃗=−516b⃗=516i⃗−2016j⃗+1016k⃗=516i⃗−54j⃗+58k⃗\vec{c} = -\frac{5}{16}\vec{b} = \frac{5}{16}\vec{i} - \frac{20}{16}\vec{j} + \frac{10}{16}\vec{k} = \frac{5}{16}\vec{i} - \frac{5}{4}\vec{j} + \frac{5}{8}\vec{k}.
42 puncte
Aria triunghiului format de a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c} este jumătate din modulul produsului vectorial al oricăror doi vectori care formează laturile triunghiului. De exemplu, aria = 12∣a⃗×b⃗∣\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|. Calculăm a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗2−31−14−2∣=i⃗((−3)(−2)−(1)(4))−j⃗((2)(−2)−(1)(−1))+k⃗((2)(4)−(−3)(−1))=2i⃗+3j⃗+5k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(-2) - (1)(4)) - \vec{j}((2)(-2) - (1)(-1)) + \vec{k}((2)(4) - (-3)(-1)) = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}. Modulul este 22+32+52=38\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{38}. Aria = 1238\frac{1}{2} \sqrt{38}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.