MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff și determinați punctele de inflexiune. c) Aplicați rezultatele pentru a rezolva inecuația f(x)≥0f(x) \geq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, și rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice x=0x = 0 și x=2x = 2.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pe intervale: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) (funcția crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0, 2) (funcția descrescătoare). Punctele de extrem: x=0x = 0 este maxim local cu f(0)=4f(0) = 4, x=2x = 2 este minim local cu f(2)=0f(2) = 0.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6, și rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=1x = 1. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (funcția convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (funcția concavă). Punct de inflexiune la x=1x = 1, f(1)=2f(1) = 2.
42 puncte
Folosiți proprietățile funcției: f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x≥2x \geq 2 (din minimul la x=2x = 2 cu valoare 0 și creșterea ulterioară) și pentru x≤0x \leq 0 (deoarece f(0)=4f(0) = 4 și funcția este descrescătoare spre −∞ -\infty cu limită −∞-\infty, dar verificând f(−1)=0f(-1) = 0, deci f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [−1,0][-1, 0] și pe [2,∞)[2, \infty)). Soluția finală: x∈[−1,∞)x \in [-1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.