MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați asimptotele graficului funcției ff. c) Arătați că funcția ff are un punct de maxim global și calculați valoarea maximă. d) Folosind proprietățile de convexitate, demonstrați că pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, f(x+y2)≥f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{f(x)+f(y)}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=−2xe−x2f'(x)=-2xe^{-x^2} și f′′(x)=(−2+4x2)e−x2=2(2x2−1)e−x2f''(x)=(-2+4x^2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}.
22 puncte
Studiul monotoniei: f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,0]x \in (-\infty,0] (funcția crescătoare) și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[0,∞)x \in [0,\infty) (funcția descrescătoare). Studiul convexității: f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,−22]∪[22,∞)x \in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},\infty\right) (funcția convexă) și f′′(x)≤0f''(x) \leq 0 pentru x∈[−22,22]x \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right] (funcția concavă).
32 puncte
Asimptote: lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0, deci dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală spre ±∞\pm \infty. Nu există asimptote oblice sau verticale.
42 puncte
Din monotonie, x=0x=0 este punct de maxim global, f(0)=1f(0)=1 este valoarea maximă.
52 puncte
Funcția ff este concavă pe [−22,22]\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right], dar nu pe tot R\mathbb{R}. Totuși, pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}, x+y2\frac{x+y}{2} este în intervalul dintre xx și yy, iar din convexitatea/concavitatea pe intervale, se poate aplica inegalitatea Jensen. Mai precis, pe intervalul unde ff este concavă, inegalitatea f(x+y2)≥f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{f(x)+f(y)}{2} este adevărată. Pentru x,yx,y oarecare, se poate observa că f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru ∣x∣≥22|x| \geq \frac{\sqrt{2}}{2}, deci ff este convexă acolo, dar inegalitatea cerută este pentru concavitate. De fapt, ff nu este concavă peste tot, dar se poate demonstra direct: e−(x+y2)2≥e−x2+e−y22e^{-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \geq \frac{e^{-x^2}+e^{-y^2}}{2} este echivalentă cu 2e−x2+y2+2xy4≥e−x2+e−y22e^{-\frac{x^2+y^2+2xy}{4}} \geq e^{-x^2}+e^{-y^2}. Se poate folosi inegalitatea mediilor sau proprietățile funcției exponențiale. O abordare simplă: din convexitatea funcției g(t)=e−tg(t)=e^{-t}, care este convexă, se obține inegalitatea opusă. Corect: funcția ff este log-concavă, deoarece ln⁡f(x)=−x2\ln f(x)=-x^2 este concavă. Astfel, ln⁡f(x+y2)≥ln⁡f(x)+ln⁡f(y)2\ln f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{\ln f(x)+\ln f(y)}{2}, care implică f(x+y2)≥f(x)f(y)≥f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \sqrt{f(x)f(y)} \geq \frac{f(x)+f(y)}{2} prin inegalitatea mediilor. Demonstrația completă: ln⁡f(x)=−x2\ln f(x)=-x^2, care este concavă, deci ln⁡f(x+y2)≥ln⁡f(x)+ln⁡f(y)2\ln f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{\ln f(x)+\ln f(y)}{2}, adică −(x+y2)2≥−x2−y22-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \geq \frac{-x^2-y^2}{2}, ceea ce este adevărat de la inegalitatea (x−y)2≥0(x-y)^2 \geq 0. Apoi, exponențiind: f(x+y2)≥eln⁡f(x)+ln⁡f(y)2=f(x)f(y)≥f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq e^{\frac{\ln f(x)+\ln f(y)}{2}} = \sqrt{f(x)f(y)} \geq \frac{f(x)+f(y)}{2}, unde ultima inegalitate este media aritmetică-geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.