MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie are funcția costului C(x)=0.1x3−6x2+90x+100C(x) = 0.1x^3 - 6x^2 + 90x + 100, unde xx este cantitatea produsă (în unități, x≥0x \geq 0). Determinați nivelul de producție care minimizează costul, și identificați intervalele în care funcția costului este descrescătoare și convexă. Justificați folosind derivatele.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi C′(x)=0.3x2−12x+90C'(x) = 0.3x^2 - 12x + 90.
23 puncte
Aflați punctele critice rezolvând C′(x)=0C'(x)=0, adică 0.3x2−12x+90=00.3x^2 - 12x + 90 = 0, care are soluțiile x=10x=10 și x=30x=30; studiați semnul lui C′(x)C'(x) pe intervalele [0,10)[0,10), (10,30)(10,30), (30,∞)(30,\infty) pentru a determina că CC este descrescătoare pe [0,10]∪[30,∞)[0,10] \cup [30,\infty) și crescătoare pe [10,30][10,30], cu minim la x=10x=10 și maxim la x=30x=30 (dar minimul global pe x≥0x \geq 0 este la x=10x=10).
32 puncte
Calculați derivata a doua C′′(x)=0.6x−12C''(x) = 0.6x - 12.
43 puncte
Studiați semnul lui C′′(x)C''(x): rezolvați C′′(x)=0C''(x)=0 pentru x=20x=20; analizați că CC este concavă pe [0,20][0,20] și convexă pe [20,∞)[20,\infty), deci este convexă pe [20,∞)[20,\infty) și descrescătoare pe [30,∞)[30,\infty) (dar pentru a identifica intervalele descrescătoare și convexe, observați că pe [30,∞)[30,\infty), CC este descrescătoare și convexă). Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.