MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția g:(0,∞)→Rg : (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=xln⁡x−xg(x) = x \ln x - x. Studiați monotonia și convexitatea funcției gg, iar apoi demonstrați că pentru orice a,b>0a, b > 0, are loc inegalitatea aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi g′(x)=ln⁡xg'(x) = \ln x și derivata a doua g′′(x)=1xg''(x) = \frac{1}{x}.;
22 puncte
Se rezolvă g′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1g'(x)=0 \Rightarrow \ln x=0 \Rightarrow x=1. Pe (0,1)(0,1), g′(x)<0g'(x)<0 (funcția este descrescătoare), pe (1,∞)(1,\infty), g′(x)>0g'(x)>0 (funcția este crescătoare), deci x=1x=1 este punct de minim local.;
32 puncte
Se observă că g′′(x)=1x>0g''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x>0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).;
42 puncte
Utilizând convexitatea, pentru orice a,b>0a, b > 0, avem g(a+b2)≤g(a)+g(b)2g\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{g(a)+g(b)}{2}, adică a+b2ln⁡(a+b2)−a+b2≤aln⁡a−a+bln⁡b−b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} \leq \frac{a \ln a - a + b \ln b - b}{2}.;
52 puncte
Se simplifică inegalitatea: a+b2ln⁡(a+b2)−a+b2≤aln⁡a+bln⁡b2−a+b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} \leq \frac{a \ln a + b \ln b}{2} - \frac{a+b}{2}, de unde rezultă aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.