MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2⋅(x2−1)f(x) = e^{-x^2} \cdot (x^2 - 1). Studiați monotonía și convexitatea acestei funcții și determinați punctele de extrem local și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=e−x2⋅(−2x(x2−1)+2x)=e−x2⋅(−2x3+4x)f'(x) = e^{-x^2} \cdot \left( -2x(x^2 - 1) + 2x \right) = e^{-x^2} \cdot (-2x^3 + 4x).\n
23 puncte
Aflați punctele critice: f′(x)=0⇒−2x3+4x=0⇒x(x2−2)=0⇒x=0,x=2,x=−2f'(x)=0 \Rightarrow -2x^3 + 4x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2)=0 \Rightarrow x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}. Studiați semnul lui f′(x)f'(x): crește pe (−2,0)(-\sqrt{2},0) și (2,∞)(\sqrt{2}, \infty), descrește pe (−∞,−2)(-\infty, -\sqrt{2}) și (0,2)(0, \sqrt{2}). Puncte de extrem: maxim local la x=0x=0, minime locale la x=±2x=\pm\sqrt{2}.\n
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x2⋅(4x4−10x2+4)f''(x) = e^{-x^2} \cdot \left( 4x^4 - 10x^2 + 4 \right).\n
43 puncte
Aflați punctele de inflexiune: f′′(x)=0⇒4x4−10x2+4=0f''(x)=0 \Rightarrow 4x^4 - 10x^2 + 4=0, cu t=x2t=x^2, ecuația 4t2−10t+4=04t^2 - 10t + 4=0 are soluțiile t=2t=2 și t=0.5t=0.5, deci x=±2x=\pm\sqrt{2} și x=±22x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}. Studiați convexitatea: f′′(x)>0f''(x)>0 pe (−∞,−2)(-\infty, -\sqrt{2}), (−22,22)(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2,∞)(\sqrt{2}, \infty) (convexă), iar f′′(x)<0f''(x)<0 pe celelalte intervale (concavă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.