MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2, unde xx este numărul de unități produse. Venitul total este V(x)=100x−0.05x2V(x) = 100x - 0.05x^2. Determinați intervalul de producție pentru care profitul este crescător și concav, și găsiți nivelul de producție care maximizează profitul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=(100x−0.05x2)−(1000+50x+0.1x2)=50x−0.15x2−1000P(x) = V(x) - C(x) = (100x - 0.05x^2) - (1000 + 50x + 0.1x^2) = 50x - 0.15x^2 - 1000, cu x≥0x \geq 0.\n
23 puncte
Calculați derivata întâi: P′(x)=50−0.3xP'(x) = 50 - 0.3x. Studiați monotonía: P′(x)>0P'(x)>0 pentru x<5003≈166.67x < \frac{500}{3} \approx 166.67, deci profitul este crescător pe [0,5003)[0, \frac{500}{3}).\n
33 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−0.3<0P''(x) = -0.3 < 0, deci profitul este concav (sau convex în jos) pe tot domeniul. Intervalul cerut pentru care profitul este crescător și concav este [0,5003)[0, \frac{500}{3}).\n
42 puncte
Maximul profitului se obține la punctul critic unde P′(x)=0P'(x)=0, adică x=5003x = \frac{500}{3}. Verificați că este maxim deoarece P′′(x)<0P''(x) < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.