MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} și b⃗=−i⃗+4j⃗+2k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}. Calculați ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}|, determinați unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, și aflați volumul paralelipipedului construit pe vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗=i⃗+j⃗−k⃗\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați produsul vectorial a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗2−13−142∣=i⃗(−1⋅2−3⋅4)−j⃗(2⋅2−3⋅(−1))+k⃗(2⋅4−(−1)⋅(−1))=−14i⃗−7j⃗+7k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1\cdot2 - 3\cdot4) - \vec{j}(2\cdot2 - 3\cdot(-1)) + \vec{k}(2\cdot4 - (-1)\cdot(-1)) = -14\vec{i} - 7\vec{j} + 7\vec{k}.
21 punct
Calculați modulul: ∣a⃗×b⃗∣=(−14)2+(−7)2+72=196+49+49=294=76|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}.
33 puncte
Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗=2⋅(−1)+(−1)⋅4+3⋅2=−2−4+6=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cdot(-1) + (-1)\cdot4 + 3\cdot2 = -2 -4 +6 =0, deci unghiul este de 90∘90^\circ sau π2\frac{\pi}{2} radiani.
43 puncte
Calculați produsul mixt pentru volum. Mai întâi b⃗×c⃗=∣i⃗j⃗k⃗−14211−1∣=−6i⃗+j⃗−5k⃗\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -6\vec{i} + \vec{j} -5\vec{k}. Apoi [a⃗,b⃗,c⃗]=a⃗⋅(b⃗×c⃗)=2⋅(−6)+(−1)⋅1+3⋅(−5)=−28[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 2\cdot(-6) + (-1)\cdot1 + 3\cdot(-5) = -28. Volumul este ∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=28|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = 28.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.