MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții. Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea f(x)≥−1ef(x) \geq -\frac{1}{e}, utilizând proprietățile derivatelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=1ex=\frac{1}{e}. Monotonia: f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(0,1e)x \in (0,\frac{1}{e}) (funcția descrescătoare), f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(1e,∞)x \in (\frac{1}{e},\infty) (funcția crescătoare). Convexitatea: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>0x>0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
34 puncte
Minimul funcției este atins în x=1ex=\frac{1}{e}, cu f(1e)=1eln⁡1e=−1ef\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} = -\frac{1}{e}. Deoarece funcția este convexă și are un singur punct critic, acesta este minim global. Astfel, pentru orice x>0x>0, f(x)≥−1ef(x) \geq -\frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.