MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un produs, iar costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=x3−9x2+30x+25C(x) = x^3 - 9x^2 + 30x + 25, pentru x≥0x \geq 0. a) Determinați intervalul de producție pentru care costul marginal este descrescător. b) Găsiți nivelul de producție care minimizează costul mediu, unde costul mediu este A(x)=C(x)xA(x) = \frac{C(x)}{x} pentru x>0x > 0. c) Verificați dacă la punctul găsit, funcția cost mediu este convexă sau concavă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Costul marginal este C′(x)=3x2−18x+30C'(x) = 3x^2 - 18x + 30. Derivata sa este C′′(x)=6x−18C''(x) = 6x - 18. Costul marginal este descrescător când C′′(x)<0C''(x) < 0, adică 6x−18<0⇒x<36x - 18 < 0 \Rightarrow x < 3. Deci pe intervalul [0,3)[0, 3).
23 puncte
Costul mediu este A(x)=C(x)x=x2−9x+30+25xA(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 9x + 30 + \frac{25}{x}. Calculăm A′(x)=2x−9−25x2A'(x) = 2x - 9 - \frac{25}{x^2}. Punem condiția A′(x)=0A'(x) = 0: 2x−9−25x2=02x - 9 - \frac{25}{x^2} = 0. Înmulțim cu x2x^2: 2x3−9x2−25=02x^3 - 9x^2 - 25 = 0. Testăm x=5x=5: 2⋅125−9⋅25−25=250−225−25=02 \cdot 125 - 9 \cdot 25 - 25 = 250 - 225 - 25 = 0, deci x=5x=5 este punct critic.
32 puncte
Verificăm dacă x=5x=5 este punct de minim. Calculăm A′′(x)=2+50x3A''(x) = 2 + \frac{50}{x^3}. La x=5x=5, A′′(5)=2+50125=2+0.4=2.4>0A''(5) = 2 + \frac{50}{125} = 2 + 0.4 = 2.4 > 0, deci este punct de minim.
42 puncte
La x=5x=5, A′′(5)>0A''(5) > 0, deci funcția cost mediu este convexă în acel punct.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.