MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați valoarea maximă a funcției și punctul în care este atinsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}.
23 puncte
Determinăm intervalele de monotonie: rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0 și obținem ln⁡x=1\ln x = 1, deci x=ex=e. Studiem semnul derivatei: pentru x∈(0,e)x \in (0,e), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcția este crescătoare), iar pentru x∈(e,∞)x \in (e,\infty), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcția este descrescătoare).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=2ln⁡x−3x3f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}.
42 puncte
Determinăm intervalele de convexitate: rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0 și obținem ln⁡x=32\ln x = \frac{3}{2}, deci x=e3/2x=e^{3/2}. Studiem semnul derivatei a doua: pentru x∈(0,e3/2)x \in (0,e^{3/2}), f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcția este concavă), iar pentru x∈(e3/2,∞)x \in (e^{3/2},\infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcția este convexă).
51 punct
Din studiul monotoniei, maximul funcției este atins la x=ex=e, cu valoarea f(e)=1ef(e) = \frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.