MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Funcția profitului unei firme este dată de P(x)=−x3+12x2−36x+50P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 50, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități), cu x≥0x \geq 0. Să se determine intervalul de producție pentru care profitul este crescător, punctul de maxim profit, și să se studieze convexitatea funcției profit. Apoi, să se interpreteze rezultatele în context economic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: P′(x)=−3x2+24x−36P'(x) = -3x^2 + 24x - 36. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: −3x2+24x−36=0-3x^2 + 24x - 36 = 0 împărțim la −3-3: x2−8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0, cu soluțiile x=2x=2 și x=6x=6. Acestea sunt punctele critice.
22 puncte
Studiem semnul derivatei întâi: pe [0,2)[0,2), P′(x)<0P'(x)<0 deci profitul descrescător; pe (2,6)(2,6), P′(x)>0P'(x)>0 deci profitul crescător; pe (6,∞)(6,\infty), P′(x)<0P'(x)<0 deci profitul descrescător. Intervalul pentru care profitul este crescător este (2,6)(2,6).
33 puncte
Calculăm derivata a doua: P′′(x)=−6x+24P''(x) = -6x + 24. Rezolvăm P′′(x)=0P''(x)=0: x=4x=4. Studiem semnul: pe [0,4)[0,4), P′′(x)>0P''(x)>0 deci funcția convexă; pe (4,∞)(4,\infty), P′′(x)<0P''(x)<0 deci funcția concavă. Punctul de inflexiune este x=4x=4, P(4)=34P(4)=34.
42 puncte
Interpretare economică: Profitul este maxim la x=6x=6, cu P(6)=50P(6)=50. Funcția este convexă pe [0,4)[0,4), indicând o rată de creștere accelerată a profitului, și concavă pe (4,∞)(4,\infty), indicând o rată de creștere încetinită. Punctul de inflexiune la x=4x=4 marchează tranziția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.