MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Aplicați proprietățile de monotonie și convexitate pentru a demonstra inegalitatea a2ln⁡a+b2ln⁡b2≥(a+b2)2ln⁡(a+b2)\frac{a^2 \ln a + b^2 \ln b}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \ln \left( \frac{a+b}{2} \right) pentru orice a,b>0a, b > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \ln x + x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=e−1/2x = e^{-1/2}, stabilim semnul: f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,e−1/2)(0, e^{-1/2}) (funcție descrescătoare) și f′(x)>0f'(x) > 0 pe (e−1/2,∞)(e^{-1/2}, \infty) (funcție crescătoare).
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0 obținând x=e−3/2x = e^{-3/2}, stabilim semnul: f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (0,e−3/2)(0, e^{-3/2}) (funcție concavă) și f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (e−3/2,∞)(e^{-3/2}, \infty) (funcție convexă).
34 puncte
Deoarece ff este convexă pe (e−3/2,∞)(e^{-3/2}, \infty), pentru a,b>0a, b > 0 cu a,b∈(e−3/2,∞)a, b \in (e^{-3/2}, \infty) sau prin extensie, aplicăm inegalitatea lui Jensen: f(a)+f(b)2≥f(a+b2)\frac{f(a)+f(b)}{2} \geq f\left(\frac{a+b}{2}\right), ceea ce demonstrează inegalitatea dată; se verifică cazurile limită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.