MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ax2+3x+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Studiați monotonia funcției ff în funcție de parametrul aa. b) Studiați convexitatea funcției ff și determinați punctul de inflexiune. c) Pentru a=1a = 1, găsiți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 9 pași
11 punct
Calculăm f′(x)=3x2−6ax+3f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3.
21 punct
Calculăm Δ′=9a2−9=9(a2−1)\Delta' = 9a^2 - 9 = 9(a^2 - 1).
32 puncte
Discuție monotonie: Dacă a∈(−1,1)a \in (-1,1), atunci Δ′<0\Delta' < 0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice xx, deci ff strict crescătoare pe R\mathbb{R}. Dacă a=±1a = \pm 1, atunci Δ′=0\Delta' = 0, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 cu egalitate doar într-un punct, deci ff crescătoare pe R\mathbb{R}. Dacă a<−1a < -1 sau a>1a > 1, atunci Δ′>0\Delta' > 0, f′(x)=0f'(x) = 0 are două rădăcini reale distincte x1=a−a2−1x_1 = a - \sqrt{a^2-1}, x2=a+a2−1x_2 = a + \sqrt{a^2-1}; ff crescătoare pe (−∞,x1](-\infty, x_1] și [x2,∞)[x_2, \infty), descrescătoare pe [x1,x2][x_1, x_2].
41 punct
Calculăm f′′(x)=6x−6af''(x) = 6x - 6a.
51 punct
Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0 și obținem x=ax = a.
61 punct
Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<ax < a, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff concavă; pentru x>ax > a, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă; punctul de inflexiune este (a,f(a))(a, f(a)).
71 punct
Pentru a=1a=1, punctul de inflexiune este la x=1x=1, f(1)=2f(1)=2, deci punctul (1,2)(1,2).
81 punct
Calculăm f′(1)=3−6+3=0f'(1) = 3 - 6 + 3 = 0.
91 punct
Ecuația tangentei: y−2=0(x−1)⇒y=2y - 2 = 0(x-1) \Rightarrow y = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.