MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Consideră funcția f:(1,∞)→Rf: (1, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = \frac{x}{\ln x}. Studiază monotonia și convexitatea funcției ff. Apoi, folosind rezultatele, arată că pentru orice x>1x > 1, avem f(x)≥ef(x) \ge e, și determină când are loc egalitatea.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=ln⁡x−1(ln⁡x)2f'(x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}. Se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0 și se obține x=ex=e. Pentru x∈(1,e)x \in (1,e), ln⁡x<1\ln x < 1, deci f′(x)<0f'(x) < 0, așadar ff este descrescătoare pe (1,e](1,e]. Pentru x∈(e,∞)x \in (e,\infty), ln⁡x>1\ln x > 1, deci f′(x)>0f'(x) > 0, așadar ff este crescătoare pe [e,∞)[e,\infty).
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=2−ln⁡xx(ln⁡x)3f''(x) = \frac{2 - \ln x}{x (\ln x)^3}. Se rezolvă ecuația f′′(x)=0f''(x)=0 și se obține x=e2x=e^2. Pentru x∈(1,e2)x \in (1,e^2), ln⁡x<2\ln x < 2, deci f′′(x)>0f''(x) > 0, așadar ff este convexă pe (1,e2](1,e^2]. Pentru x∈(e2,∞)x \in (e^2,\infty), ln⁡x>2\ln x > 2, deci f′′(x)<0f''(x) < 0, așadar ff este concavă pe [e2,∞)[e^2,\infty).
34 puncte
Din studiul monotoniei, funcția ff are un minim global în x=ex=e, cu valoarea f(e)=eln⁡e=ef(e) = \frac{e}{\ln e} = e. Prin urmare, pentru orice x>1x > 1, f(x)≥f(e)=ef(x) \ge f(e) = e, iar egalitatea are loc doar pentru x=ex=e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.