MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției. Identificați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Apoi, găsiți valoarea maximă și minimă a funcției pe intervalul [0,2][0,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi f′(x)=3x2−6x+2f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 și rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0, obținând x1=1−33x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} și x2=1+33x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}.
22 puncte
Calculează derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6 și rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1.
32 puncte
Studiază semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de x1x_1 și x2x_2: pe (−∞,x1)(-\infty, x_1), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare; pe (x1,x2)(x_1, x_2), f′(x)<0f'(x)<0 deci ff descrescătoare; pe (x2,∞)(x_2, \infty), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare.
42 puncte
Studiază semnul lui f′′(x)f''(x): pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff concavă în jos; pe (1,∞)(1, \infty), f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff concavă în sus.
52 puncte
Pentru intervalul [0,2][0,2], evaluează ff la punctele critice incluse și la capete: calculează f(0)=1f(0)=1, f(2)=1f(2)=1, f(x1)f(x_1) și f(x2)f(x_2); compară valorile și determină că maximul este f(x1)f(x_1) și minimul este f(x2)f(x_2) pe [0,2][0,2].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.