MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+10C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10, unde x≥0x \geq 0 este cantitatea produsă în mii de unități. Să se studieze convexitatea funcției CC și să se determine cantitatea xx pentru care costul marginal C′(x)C'(x) este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi (costul marginal): C′(x)=0.3x2−3x+9C'(x) = 0.3x^2 - 3x + 9 și a derivatei a doua: C′′(x)=0.6x−3C''(x) = 0.6x - 3.\n
23 puncte
Studiul semnului lui C′′(x)C''(x): C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>5x > 5 (funcția CC este convexă), C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<5x < 5 (funcția CC este concavă), iar la x=5x = 5 este punct de inflexiune.\n
33 puncte
Determinarea minimului costului marginal: se rezolvă C′′(x)=0C''(x) = 0 pentru a găsi punctul critic al lui C′(x)C'(x), adică 0.6x−3=00.6x - 3 = 0, deci x=5x = 5. Verificare cu derivata a treia: C′′′(x)=0.6>0C'''(x) = 0.6 > 0, indicând că x=5x = 5 este punct de minim pentru C′(x)C'(x).\n
42 puncte
Calculul valorii minime a costului marginal: C′(5)=0.3⋅52−3⋅5+9=0.3⋅25−15+9=7.5−15+9=1.5C'(5) = 0.3 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 9 = 0.3 \cdot 25 - 15 + 9 = 7.5 - 15 + 9 = 1.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.