MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} și v⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}. Dacă u⃗⋅v⃗=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 și u⃗×v⃗=4i⃗+2j⃗−2k⃗\vec{u} \times \vec{v} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}, determinați x,y,zx, y, z și calculați ∣u⃗∣|\vec{u}|.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem ecuația din produsul scalar: 2x−y+3z=102x - y + 3z = 10.
24 puncte
Scriem ecuațiile din produsul vectorial: u⃗×v⃗=(3y+z)i⃗+(−3x+2z)j⃗+(−x−2y)k⃗=4i⃗+2j⃗−2k⃗\vec{u} \times \vec{v} = (3y + z)\vec{i} + (-3x + 2z)\vec{j} + (-x - 2y)\vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}, deci 3y+z=43y + z = 4, −3x+2z=2-3x + 2z = 2, −x−2y=−2-x - 2y = -2.
32 puncte
Rezolvăm sistemul. Din −x−2y=−2-x - 2y = -2 avem x=2−2yx = 2 - 2y. Din 3y+z=43y + z = 4 avem z=4−3yz = 4 - 3y. Substituim în −3x+2z=2-3x + 2z = 2: −3(2−2y)+2(4−3y)=−6+6y+8−6y=2-3(2-2y) + 2(4-3y) = -6 + 6y + 8 - 6y = 2, care este verificată. Apoi din 2x−y+3z=102x - y + 3z = 10: 2(2−2y)−y+3(4−3y)=4−4y−y+12−9y=16−14y=10⇒14y=6⇒y=372(2-2y) - y + 3(4-3y) = 4 - 4y - y + 12 - 9y = 16 - 14y = 10 \Rightarrow 14y = 6 \Rightarrow y = \frac{3}{7}. Atunci x=2−2⋅37=87x = 2 - 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{7}, z=4−3⋅37=197z = 4 - 3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{19}{7}.
41 punct
Calculăm ∣u⃗∣=x2+y2+z2=(87)2+(37)2+(197)2=64+9+36149=43449=4347|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{19}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{64 + 9 + 361}{49}} = \sqrt{\frac{434}{49}} = \frac{\sqrt{434}}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.