MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dau vectorii a⃗=(1,−1,2)\vec{a} = (1, -1, 2), b⃗=(3,0,−1)\vec{b} = (3, 0, -1), și c⃗=(2,1,k)\vec{c} = (2, 1, k). Determinați kk astfel încât vectorii să fie coplanari, și apoi găsiți un vector d⃗\vec{d} perpendicular pe planul determinat de aceștia, cu ∣d⃗∣=6|\vec{d}| = \sqrt{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția de coplanaritate: produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗]=0[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0. Calculează determinantul: ∣1−1230−121k∣=3k+9\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & k \end{vmatrix} = 3k+9. Setează 3k+9=03k+9=0, deci k=−3k=-3.
23 puncte
Pentru k=−3k=-3, calculează un vector perpendicular pe plan: n⃗=a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗1−1230−1∣=i⃗+7j⃗+3k⃗\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i} +7\vec{j} +3\vec{k}, deci n⃗=(1,7,3)\vec{n} = (1,7,3).
33 puncte
Găsește d⃗\vec{d} cu ∣d⃗∣=6|\vec{d}| = \sqrt{6}: d⃗=λn⃗\vec{d} = \lambda \vec{n} astfel încât ∣λ∣12+72+32=∣λ∣59=6|\lambda| \sqrt{1^2+7^2+3^2} = |\lambda| \sqrt{59} = \sqrt{6}, deci λ=±659\lambda = \pm \sqrt{\frac{6}{59}}. Atunci d⃗=±659(1,7,3)\vec{d} = \pm \sqrt{\frac{6}{59}} (1,7,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.