MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Fie funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡(x)f(x) = e^{-x} \sin(x). a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff pe intervalul [0,π][0, \pi]. b) Determinați punctele de extrem ale funcției și valoarea maximă și minimă pe acest interval.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=e−x(cos⁡(x)−sin⁡(x))f'(x) = e^{-x}(\cos(x) - \sin(x)). Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0, adică cos⁡(x)=sin⁡(x)\cos(x) = \sin(x), deci x=π4x = \frac{\pi}{4} pe [0,π][0, \pi]. Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pentru x∈[0,π4)x \in [0, \frac{\pi}{4}), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare), pentru x∈(π4,π]x \in (\frac{\pi}{4}, \pi], f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare).
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x(sin⁡(x)−3cos⁡(x))f''(x) = e^{-x}(\sin(x) - 3\cos(x)). Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0, adică sin⁡(x)=3cos⁡(x)\sin(x) = 3\cos(x), deci x=arctan⁡(3)x = \arctan(3) (notat x0x_0) pe [0,π][0, \pi], unde x0∈(0,π2)x_0 \in (0, \frac{\pi}{2}). Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x∈[0,x0)x \in [0, x_0), f′′(x)<0f''(x)<0 (funcția concavă), pentru x∈(x0,π]x \in (x_0, \pi], f′′(x)>0f''(x)>0 (funcția convexă).
33 puncte
Din analiza monotoniai, x=π4x = \frac{\pi}{4} este punct de maxim local și global pe [0,π][0, \pi], cu f(π4)=e−π/4⋅22f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi/4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. Calculați valorile la capete: f(0)=0f(0)=0 și f(π)=0f(\pi)=0. Comparați: maximul este f(π4)f(\frac{\pi}{4}), minimul este 00 atins în x=0x=0 și x=πx=\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.