MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local ale funcției ff și specificați natura lor. c) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de inflexiune. d) Un dreptunghi are două vârfuri pe axa Ox în punctele (0,0)(0,0) și (t,0)(t,0), cu t∈(0,2)t \in (0,2), și celelalte două vârfuri pe graficul funcției ff. Determinați tt pentru care aria acestui dreptunghi este maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) și f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1).
22 puncte
Studiul monotoniei: f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,0]∪[2,∞)x \in (-\infty,0] \cup [2,\infty) (funcția crescătoare) și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[0,2]x \in [0,2] (funcția descrescătoare). Studiul convexității: f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru x∈[1,∞)x \in [1,\infty) (funcția convexă) și f′′(x)≤0f''(x) \leq 0 pentru x∈(−∞,1]x \in (-\infty,1] (funcția concavă).
32 puncte
Punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2. Din semnul lui f′f', x=0x=0 este punct de maxim local (f(0)=4f(0)=4), iar x=2x=2 este punct de minim local (f(2)=0f(2)=0).
42 puncte
Punctul de inflexiune: f′′(x)=0⇒x=1f''(x)=0 \Rightarrow x=1, f(1)=2f(1)=2. Ecuația tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y−2=−3(x−1)⇒y=−3x+5y-f(1)=f'(1)(x-1) \Rightarrow y-2=-3(x-1) \Rightarrow y=-3x+5.
52 puncte
Aria dreptunghiului: A(t)=t⋅f(t)=t(t3−3t2+4)=t4−3t3+4tA(t)=t \cdot f(t)=t(t^3-3t^2+4)=t^4-3t^3+4t, t∈(0,2)t \in (0,2). A′(t)=4t3−9t2+4A'(t)=4t^3-9t^2+4. Se rezolvă A′(t)=0A'(t)=0: 4t3−9t2+4=04t^3-9t^2+4=0. Observăm că t=2t=2 este rădăcină, dar nu este în (0,2)(0,2); prin împărțire la t−2t-2, obținem 4t2−t−2=04t^2-t-2=0, cu rădăcinile t=1±338t=\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}. Singura în (0,2)(0,2) este t=1+338≈0.84t=\frac{1+ \sqrt{33}}{8} \approx 0.84. Semnul lui A′A' arată că acesta este punct de maxim. Deci t=1+338t=\frac{1+ \sqrt{33}}{8} maximizează aria.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.