MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(4,−1,0)B(4,-1,0) și C(2,5,1)C(2,5,1) în spațiu. Se consideră vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. a) Calculați coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Determinați ecuația planului (ABC)(ABC). c) Aflați distanța de la punctul D(0,0,0)D(0,0,0) la planul (ABC)(ABC).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calcul coordonate: AB⃗=B−A=(4−1,−1−2,0−3)=(3,−3,−3)\vec{AB} = B - A = (4-1, -1-2, 0-3) = (3, -3, -3); AC⃗=C−A=(2−1,5−2,1−3)=(1,3,−2)\vec{AC} = C - A = (2-1, 5-2, 1-3) = (1, 3, -2).
24 puncte
Determin ecuația planului: Calculez vectorul normal n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−3−313−2∣=15i⃗+3j⃗+12k⃗=(15,3,12)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 15\vec{i} +3\vec{j} +12\vec{k} = (15,3,12). Simplific cu 3: n⃗=(5,1,4)\vec{n}=(5,1,4). Ecuația planului: 5(x−1)+1(y−2)+4(z−3)=05(x-1)+1(y-2)+4(z-3)=0 sau 5x+y+4z−19=05x+y+4z-19=0.
34 puncte
Distanța de la D la plan: d=∣5⋅0+1⋅0+4⋅0−19∣52+12+42=1942=194242d = \frac{|5\cdot0+1\cdot0+4\cdot0-19|}{\sqrt{5^2+1^2+4^2}} = \frac{19}{\sqrt{42}} = \frac{19\sqrt{42}}{42}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.