MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2+1exf(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați numărul de valori reale ale parametrului mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=2xex−(x2+1)exe2x=−x2+2x−1exf'(x) = \frac{2x e^x - (x^2+1)e^x}{e^{2x}} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{e^x} și determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0, adică −x2+2x−1=0-x^2 + 2x - 1=0, care dă x=1x=1.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=−(x−1)2ex≤0f'(x) = -\frac{(x-1)^2}{e^x} \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este descrescătoare pe R\mathbb{R}.
32 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=ddx(−x2+2x−1ex)=(−2x+2)ex−(−x2+2x−1)exe2x=x2−4x+3exf''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-x^2+2x-1}{e^x}\right) = \frac{(-2x+2)e^x - (-x^2+2x-1)e^x}{e^{2x}} = \frac{x^2 - 4x + 3}{e^x}. Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0: x2−4x+3=0x^2-4x+3=0 dă x=1x=1 sau x=3x=3. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty) (convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(1,3)x \in (1,3) (concavă).
41 punct
Din monotonie, ff este descrescătoare, cu lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty și lim⁡x→+∞f(x)=0+\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+. Din convexitate, are un punct de inflexiune la x=1x=1 și x=3x=3. Ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții pentru m∈(f(3),f(1))m \in (f(3), f(1)), unde f(1)=2ef(1)=\frac{2}{e} și f(3)=10e3f(3)=\frac{10}{e^3}. Calculați f(1)>f(3)f(1) > f(3), deci intervalul este (10e3,2e)(\frac{10}{e^3}, \frac{2}{e}). Numărul de valori mm este infinit, dar se cere numărul de valori reale pentru care condiția este îndeplinită: orice mm în acest interval, deci există o infinitate, dar enunțul poate fi interpretat ca determinarea intervalului; pentru claritate, se poate specifica că mm trebuie să fie în acest interval. În barem, se punctează identificarea corectă a intervalului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.