MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=(1,−2,3)\vec{a} = (1, -2, 3), b⃗=(2,1,−1)\vec{b} = (2, 1, -1), și c⃗=(0,3,k)\vec{c} = (0, 3, k). Determinați valoarea reală a lui kk pentru care vectorii sunt liniar dependenți. Pentru această valoare a lui kk, găsiți scalarii α,β,γ\alpha, \beta, \gamma nenuli toți astfel încât αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0}, și calculați volumul tetraedrului determinat de punctele O(0,0,0), A(1,-2,3), B(2,1,-1), C(0,3,k).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Vectorii sunt liniar dependenți dacă determinantul matricei lor este zero: ∣1−2321−103k∣=0\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & k \end{vmatrix} = 0. Rezolvând, obținem k=2k = 2.
23 puncte
Pentru k=2k=2, sistemul {α+2β=0−2α+β+3γ=03α−β+2γ=0\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0 \\ -2\alpha + \beta + 3\gamma = 0 \\ 3\alpha - \beta + 2\gamma = 0 \end{cases} are soluții nenule; de exemplu, α=2,β=−1,γ=1\alpha=2, \beta=-1, \gamma=1 (sau orice multiplu).
34 puncte
Volumul tetraedrului OABC este 16∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣=16∣∣1−2321−1032∣∣=16∣−20∣=103\frac{1}{6} | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} | -20 | = \frac{10}{3} unități cubice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.