MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Demonstrați că ff este convexă pe intervalul (0,∞)(0, \infty). b) Folosind convexitatea, arătați că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem inegalitatea aln⁡a+bln⁡b2≥(a+b2)ln⁡(a+b2)\frac{a \ln a + b \ln b}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2} \right) \ln \left( \frac{a+b}{2} \right). c) Aplicați derivata pentru a găsi punctul de minim al funcției ff pe (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivatele: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru toți x>0x > 0, funcția ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
23 puncte
Aplicați inegalitatea lui Jensen pentru funcții convexe: pentru orice a,b>0a, b > 0, avem f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left( \frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}. Înlocuiți f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x pentru a obține (a+b2)ln⁡(a+b2)≤aln⁡a+bln⁡b2\left( \frac{a+b}{2} \right) \ln \left( \frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{a \ln a + b \ln b}{2}, care este inegalitatea cerută.
34 puncte
Găsiți derivata întâi f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și setați f′(x)=0f'(x)=0, obținând ln⁡x+1=0⇒x=e−1\ln x + 1 = 0 \Rightarrow x = e^{-1}. Verificați că f′′(e−1)=e>0f''(e^{-1}) = e > 0, deci x=e−1x = e^{-1} este punct de minim local și global pe (0,∞)(0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.