MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1exf(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}. Să se determine intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem local și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2xex−(x2+1)exe2x=2x−x2−1ex=−(x−1)2exf'(x) = \frac{2x e^x - (x^2+1)e^x}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2 - 1}{e^x} = \frac{-(x-1)^2}{e^x}.
22 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0: −(x−1)2=0⇒x=1-(x-1)^2=0 \Rightarrow x=1. Studiem semnul: f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate doar la x=1x=1, deci ff este descrescătoare pe R\mathbb{R}; nu există puncte de extrem local deoarece derivata nu își schimbă semnul.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=[−2(x−1)ex−(−(x−1)2)ex]e2x=−2(x−1)+(x−1)2ex=(x−1)(x−3)exf''(x) = \frac{[-2(x-1)e^x - (-(x-1)^2)e^x]}{e^{2x}} = \frac{-2(x-1) + (x-1)^2}{e^x} = \frac{(x-1)(x-3)}{e^x}.
42 puncte
Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0: (x−1)(x−3)=0⇒x=1(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1 sau x=3x=3. Studiem semnul lui f′′(x)f''(x) pe intervalele (−∞,1)(-\infty,1), (1,3)(1,3), (3,∞)(3,\infty).
51 punct
Determinăm intervalele de convexitate: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,1)(-\infty,1) și (3,∞)(3,\infty), deci ff este convexă pe (−∞,1)∪(3,∞)(-\infty,1) \cup (3,\infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (1,3)(1,3), deci ff este concavă pe (1,3)(1,3).
61 punct
Identificăm punctele de inflexiune: la x=1x=1 și x=3x=3, unde f′′(x)=0f''(x)=0 și semnul se schimbă. La x=1x=1, f′′f'' trece din pozitiv în negativ, iar la x=3x=3, din negativ în pozitiv, deci ambele sunt puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.