MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+10C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10, unde xx este cantitatea produsă în mii de unități, cu x≥0x \geq 0. Determinați cantitatea xx pentru care costul marginal este minim și analizați convexitatea funcției cost total. Folosiți derivatele pentru a justifica răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Costul marginal este derivata costului total: C′(x)=0.3x2−3x+9C'(x) = 0.3x^2 - 3x + 9.
23 puncte
Pentru a găsi minimul costului marginal, se calculează derivata lui C′(x)C'(x): C′′(x)=0.6x−3C''(x) = 0.6x - 3. Se rezolvă C′′(x)=0C''(x)=0 pentru x=5x=5. Se verifică semnul: pentru x<5x<5, C′′(x)<0C''(x)<0, deci C′(x)C'(x) descrescătoare; pentru x>5x>5, C′′(x)>0C''(x)>0, deci C′(x)C'(x) crescătoare. Astfel, x=5x=5 este punct de minim pentru costul marginal.
32 puncte
Convexitatea funcției C(x)C(x) se studiază cu C′′(x)=0.6x−3C''(x)=0.6x-3. Pe [0,5)[0,5), C′′(x)<0C''(x)<0, deci C(x)C(x) este concavă; pe (5,∞)(5,\infty), C′′(x)>0C''(x)>0, deci C(x)C(x) este convexă. Punctul de inflexiune este la x=5x=5.
42 puncte
Interpretare: Cantitatea x=5x=5 mii unități minimizează costul marginal, iar funcția cost total schimbă convexitatea la această valoare, indicând o tranziție în rata de creștere a costurilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.