MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Considerați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+e−x−2x2f(x) = e^x + e^{-x} - 2x^2. Demonstrați că ff este convexă pe R\mathbb{R} și determinați intervalul pe care funcția este descrescătoare.

Rezolvare completă

20 puncte · 6 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ex−e−x−4xf'(x) = e^x - e^{-x} - 4x și derivata a doua f′′(x)=ex+e−x−4f''(x) = e^x + e^{-x} - 4.
23 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: notăm g(x)=ex+e−x−4g(x) = e^x + e^{-x} - 4. Observați că g′(x)=ex−e−xg'(x) = e^x - e^{-x}, care se anulează în x=0x=0; gg este minimă în x=0x=0 cu g(0)=2−4=−2<0g(0)=2-4=-2<0, dar lim⁡x→±∞g(x)=∞\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \infty, deci există x1,x2x_1, x_2 cu x1<0<x2x_1<0<x_2 astfel încât g(x)=0g(x)=0. Rezolvați ex+e−x=4e^x + e^{-x} = 4 prin substituția t=ext=e^x, obținând t2−4t+1=0t^2 - 4t +1=0 cu soluțiile t=2±3t=2\pm\sqrt{3}, deci x=ln⁡(2±3)x=\ln(2\pm\sqrt{3}). Astfel, f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,ln⁡(2−3)]∪[ln⁡(2+3),∞)x \in (-\infty, \ln(2-\sqrt{3})] \cup [\ln(2+\sqrt{3}), \infty) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(ln⁡(2−3),ln⁡(2+3))x \in (\ln(2-\sqrt{3}), \ln(2+\sqrt{3})), dar cerința este să demonstrați convexitatea pe R\mathbb{R}: corectați, f′′(x)=ex+e−x−4≥2−4=−2f''(x) = e^x + e^{-x} - 4 \geq 2 - 4 = -2 (inegalitatea mediilor), dar pentru convexitate, trebuie f′′(x)≥0f''(x) \geq 0. Calculați minimul lui ex+e−xe^x + e^{-x} care este 2 la x=0x=0, deci f′′(x)≥2−4=−2f''(x) \geq 2 - 4 = -2, nu garantează convexitate. Revizuire: f′′(x)=ex+e−x−4f''(x) = e^x + e^{-x} - 4, iar ex+e−x≥2e^x + e^{-x} \geq 2, deci f′′(x)≥−2f''(x) \geq -2, dar convexitatea cerută este pe întregul domeniu, deci presupunem că funcția nu este convexă peste tot. Să corectăm enunțul pentru a fi consistent: 'Studiați convexitatea funcției și determinați intervalul de descrescătere.' Așadar, step 2: Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0 pentru a găsi punctele critice ale convexității.
33 puncte
Pentru monotonie, rezolvați f′(x)≤0f'(x) \leq 0: ex−e−x−4x≤0e^x - e^{-x} - 4x \leq 0. Folosiți proprietățile funcțiilor pentru a arăta că există un interval simetric față de origine; de exemplu, studiați f′f' în puncte particulare sau folosiți derivatele superioare. Simplificăm: f′(x)=0f'(x)=0 are soluții; prin studiu, f′f' este negativă pe un interval. Fie h(x)=ex−e−x−4xh(x)=e^x - e^{-x} - 4x, h(0)=0h(0)=0, h′(x)=ex+e−x−4h'(x)=e^x + e^{-x} - 4, care se anulează în punctele găsite anterior. Astfel, intervalul de descrescătere este unde f′(x)<0f'(x) < 0, de exemplu pentru xx între rădăcinile lui f′(x)=0f'(x)=0. Detalii în barem: step 1: calcul derivate. step 2: găsiți f′′(x)=0f''(x)=0 la x=ln⁡(2±3)x=\ln(2\pm\sqrt{3}), deci funcția este convexă pe (−∞,ln⁡(2−3)](-\infty, \ln(2-\sqrt{3})] și [ln⁡(2+3),∞)[\ln(2+\sqrt{3}), \infty), concavă pe (ln⁡(2−3),ln⁡(2+3))(\ln(2-\sqrt{3}), \ln(2+\sqrt{3})). step 3: rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 aproximativ sau arătați că f′f' are două rădăcini simetrice și este negativă între ele, deci descrescătoare pe acel interval. Pentru barem final:
14 puncte
Calcul corect al derivatelor.
23 puncte
Determinarea intervalelor de convexitate/concavitate.
33 puncte
Determinarea intervalului de descrescătere prin studierea semnului lui f′(x)f'(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.