MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Se dorește construirea unei cutii fără capac cu baza pătrată și volumul de 32 dm332 \text{ dm}^3. Notăm cu xx lungimea laturii bazei (în dm) și cu hh înălțimea cutiei (în dm). a) Exprimați hh în funcție de xx. b) Determinați funcția A(x)A(x) care reprezintă aria totală a suprafeței cutiei (exclusiv capacul). c) Studiați monotoniea și convexitatea funcției A(x)A(x) pe domeniul său de definiție (0,∞)(0, \infty). d) Aflați dimensiunile cutiei (latura bazei și înălțimea) pentru care aria este minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din volumul cutiei V=x2⋅h=32V = x^2 \cdot h = 32, obțineți h=32x2h = \frac{32}{x^2}.
22 puncte
Aria totală este suma ariei bazei și a celor patru fețe laterale: A(x)=x2+4⋅x⋅h=x2+4x⋅32x2=x2+128xA(x) = x^2 + 4 \cdot x \cdot h = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}.
33 puncte
Calculați derivata întâi A′(x)=2x−128x2A'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}. Rezolvați A′(x)=0A'(x)=0: 2x=128x22x = \frac{128}{x^2} implică x3=64x^3 = 64, deci x=4x=4 (singurul punct critic în (0,∞)(0,\infty)). Studiați semnul: A′(x)<0A'(x) < 0 pentru x∈(0,4)x \in (0,4) (funcție descrescătoare) și A′(x)>0A'(x) > 0 pentru x∈(4,∞)x \in (4,\infty) (funcție crescătoare).
42 puncte
Calculați derivata a doua A′′(x)=2+256x3A''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pe (0,∞)(0,\infty), A′′(x)>0A''(x) > 0 (deoarece 256x3>0\frac{256}{x^3} > 0), deci funcția este convexă pe întreg domeniul.
51 punct
Din semnul derivatei întâi, x=4x=4 este punct de minim. Calculați h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2. Dimensiunile optime sunt: latura bazei 44 dm și înălțimea 22 dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.