MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3e−x+ax+bf(x) = x^3 e^{-x} + ax + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați aa și bb astfel încât punctul A(0,2)A(0, 2) să fie punct de inflexiune pentru graficul funcției ff și tangenta în acest punct să fie orizontală. Pentru valorile găsite, determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=x2e−x(3−x)+af'(x) = x^2 e^{-x}(3 - x) + a, f′′(x)=xe−x(x2−6x+6)f''(x) = x e^{-x}(x^2 - 6x + 6).
21 punct
Condiția ca A(0,2)A(0,2) să aparțină graficului: f(0)=03e0+a⋅0+b=b=2f(0)=0^3 e^0 + a\cdot0 + b = b = 2, deci b=2b=2.
31 punct
Condiția de tangentă orizontală în x=0x=0: f′(0)=02e0(3−0)+a=a=0f'(0)=0^2 e^0 (3-0) + a = a = 0, deci a=0a=0.
41 punct
Verificarea punctului de inflexiune: f′′(0)=0⋅e0⋅(0−0+6)=0f''(0)=0 \cdot e^0 \cdot (0-0+6)=0, iar f′′(x)f''(x) schimbă semn în x=0x=0 (pentru x<0x<0, f′′(x)<0f''(x)<0; pentru x>0x>0, f′′(x)>0f''(x)>0), confirmând că x=0x=0 este punct de inflexiune.
52 puncte
Studiul monotoniei pentru a=0a=0, b=2b=2: f′(x)=x2e−x(3−x)f'(x)= x^2 e^{-x}(3-x). Semnul lui f′(x)f'(x) depinde de (3−x)(3-x): f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<3x < 3, x≠0x \neq 0 (cu x=0x=0 punct critic), și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>3x > 3. Astfel, ff este strict crescătoare pe (−∞,3](-\infty, 3] (cu excepția lui x=0x=0 unde derivata este zero, dar monotonie strictă pe intervale) și strict descrescătoare pe [3,∞)[3, \infty).
63 puncte
Studiul convexității: f′′(x)=xe−x(x2−6x+6)f''(x)= x e^{-x}(x^2 - 6x + 6). Rădăcinile lui x2−6x+6=0x^2 - 6x + 6 = 0 sunt x1,2=3±3x_{1,2}=3 \pm \sqrt{3}. Se analizează semnul: pentru x<0x < 0, x<0x<0, e−x>0e^{-x}>0, x2−6x+6>0x^2 - 6x + 6 > 0, deci f′′(x)<0f''(x) < 0; pentru 0<x<3−30 < x < 3-\sqrt{3}, x>0x>0, e−x>0e^{-x}>0, x2−6x+6>0x^2 - 6x + 6 > 0, deci f′′(x)>0f''(x) > 0; pentru 3−3<x<3+33-\sqrt{3} < x < 3+\sqrt{3}, x>0x>0, e−x>0e^{-x}>0, x2−6x+6<0x^2 - 6x + 6 < 0, deci f′′(x)<0f''(x) < 0; pentru x>3+3x > 3+\sqrt{3}, x>0x>0, e−x>0e^{-x}>0, x2−6x+6>0x^2 - 6x + 6 > 0, deci f′′(x)>0f''(x) > 0. Astfel, ff este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (3−3,3+3)(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}), convexă pe (0,3−3)(0, 3-\sqrt{3}) și (3+3,∞)(3+\sqrt{3}, \infty), cu puncte de inflexiune în x=0x=0, x=3−3x=3-\sqrt{3}, x=3+3x=3+\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.