MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi este înscris într-un semicerc de rază RR. Semicercul are diametrul pe axa Ox și centrul în origine. Dacă un vârf al dreptunghiului se află pe semicercul de ecuație y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} pentru x∈[0,R]x \in [0, R], determinați dimensiunile dreptunghiului pentru care aria sa este maximă. Studiați monotonia și convexitatea funcției arie.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimați aria AA a dreptunghiului în funcție de xx: baza este 2x2x și înălțimea este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}, deci A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}, cu x∈(0,R)x \in (0, R).
23 puncte
Calculați derivata A′(x)=2(R2−2x2)R2−x2A'(x) = \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}} și determinați intervalele de monotonie: AA este crescătoare pe (0,R22)(0, \frac{R\sqrt{2}}{2}) și descrescătoare pe (R22,R)(\frac{R\sqrt{2}}{2}, R), cu punct critic x=R22x = \frac{R\sqrt{2}}{2}.
33 puncte
Calculați derivata a doua A′′(x)=−2x(3R2−2x2)(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{-2x(3R^2 - 2x^2)}{(R^2 - x^2)^{3/2}} și studiați convexitatea: pentru x=R22x = \frac{R\sqrt{2}}{2}, A′′(x)<0A''(x) < 0, deci funcția este concavă în jurul punctului critic, confirmând că este punct de maxim.
42 puncte
Determinați dimensiunile dreptunghiului pentru aria maximă: baza 2x=R22x = R\sqrt{2} și înălțimea R2−(R22)2=R22\sqrt{R^2 - \left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.