MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Studiați monotonie și convexitatea funcției. b) Demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0, are loc inegalitatea xln⁡x+yln⁡y≥(x+y)ln⁡(x+y2)x \ln x + y \ln y \geq (x+y) \ln\left(\frac{x+y}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=e−1x = e^{-1}, deci ff este descrescătoare pe (0,e−1](0, e^{-1}] și crescătoare pe [e−1,∞)[e^{-1}, \infty). Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x>0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
34 puncte
Utilizați convexitatea funcției ff. Pentru orice x,y>0x, y > 0, din inegalitatea lui Jensen pentru funcția convexă ff, avem f(x+y2)≤f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}, adică x+y2ln⁡(x+y2)≤xln⁡x+yln⁡y2\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{x \ln x + y \ln y}{2}. Înmulțind cu 2, obținem xln⁡x+yln⁡y≥(x+y)ln⁡(x+y2)x \ln x + y \ln y \geq (x+y) \ln\left(\frac{x+y}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.