MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere Complexe
Demonstrați că pentru orice numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3, avem ∣z1+z2∣2+∣z1+z3∣2+∣z2+z3∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z1+z2+z3∣2|z_1 + z_2|^2 + |z_1 + z_3|^2 + |z_2 + z_3|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_1 + z_2 + z_3|^2, interpretând numerele complexe ca vectori în plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se consideră numerele complexe z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i, z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i, z3=a3+b3iz_3 = a_3 + b_3 i și vectorii corespunzători v1⃗=a1i⃗+b1j⃗\vec{v_1} = a_1 \vec{i} + b_1 \vec{j}, v2⃗=a2i⃗+b2j⃗\vec{v_2} = a_2 \vec{i} + b_2 \vec{j}, v3⃗=a3i⃗+b3j⃗\vec{v_3} = a_3 \vec{i} + b_3 \vec{j}. \
24 puncte
Se calculează ∣v1⃗+v2⃗∣2=(v1⃗+v2⃗)⋅(v1⃗+v2⃗)=∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+2v1⃗⋅v2⃗|\vec{v_1} + \vec{v_2}|^2 = (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \cdot (\vec{v_1} + \vec{v_2}) = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}. Similar, ∣v1⃗+v3⃗∣2=∣v1⃗∣2+∣v3⃗∣2+2v1⃗⋅v3⃗|\vec{v_1} + \vec{v_3}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_3}|^2 + 2\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} și ∣v2⃗+v3⃗∣2=∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2+2v2⃗⋅v3⃗|\vec{v_2} + \vec{v_3}|^2 = |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2 + 2\vec{v_2} \cdot \vec{v_3}. \
34 puncte
Suma acestora este ∣v1⃗+v2⃗∣2+∣v1⃗+v3⃗∣2+∣v2⃗+v3⃗∣2=2(∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2)+2(v1⃗⋅v2⃗+v1⃗⋅v3⃗+v2⃗⋅v3⃗)|\vec{v_1} + \vec{v_2}|^2 + |\vec{v_1} + \vec{v_3}|^2 + |\vec{v_2} + \vec{v_3}|^2 = 2(|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2) + 2(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} + \vec{v_1} \cdot \vec{v_3} + \vec{v_2} \cdot \vec{v_3}). Pe de altă parte, ∣v1⃗+v2⃗+v3⃗∣2=∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2+2(v1⃗⋅v2⃗+v1⃗⋅v3⃗+v2⃗⋅v3⃗)|\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2 + 2(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} + \vec{v_1} \cdot \vec{v_3} + \vec{v_2} \cdot \vec{v_3}). Adunând ∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2, se obține ∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2+∣v1⃗+v2⃗+v3⃗∣2=2(∣v1⃗∣2+∣v2⃗∣2+∣v3⃗∣2)+2(v1⃗⋅v2⃗+v1⃗⋅v3⃗+v2⃗⋅v3⃗)|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2 + |\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}|^2 = 2(|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2) + 2(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} + \vec{v_1} \cdot \vec{v_3} + \vec{v_2} \cdot \vec{v_3}), deci egalitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.