MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie vectorii în plan reprezentați prin numere complexe: v1⃗=z1=x1+y1i\vec{v_1} = z_1 = x_1 + y_1 i, v2⃗=z2=x2+y2i\vec{v_2} = z_2 = x_2 + y_2 i, și v3⃗=z3=x3+y3i\vec{v_3} = z_3 = x_3 + y_3 i. Arătați că punctele corespunzătoare acestor vectori sunt coliniare dacă și numai dacă z3−z1z2−z1\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} este un număr real. Apoi, determinați valorile reale ale lui kk pentru care vectorii u⃗=1+ki\vec{u} = 1 + ki, v⃗=k+i\vec{v} = k + i, și w⃗=2+3i\vec{w} = 2 + 3i sunt coliniari.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Amintim condiția de coliniaritate a trei puncte în plan folosind numere complexe: punctele A(z1)A(z_1), B(z2)B(z_2), C(z3)C(z_3) sunt coliniare dacă și numai dacă z3−z1z2−z1∈R\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \in \mathbb{R}.
24 puncte
Demonstrație: Vectorii AB→=z2−z1\overrightarrow{AB} = z_2 - z_1 și AC→=z3−z1\overrightarrow{AC} = z_3 - z_1 sunt coliniari dacă și numai dacă raportul lor este real, adică z3−z1z2−z1∈R\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \in \mathbb{R}. Aceasta rezultă din faptul că doi vectori sunt coliniari când unul este multiplu real al celuilalt.
33 puncte
Aplicăm pentru u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}: avem z1=1+kiz_1 = 1 + ki, z2=k+iz_2 = k + i, z3=2+3iz_3 = 2 + 3i. Calculăm z3−z1z2−z1=(2+3i)−(1+ki)(k+i)−(1+ki)=1+(3−k)i(k−1)+(1−k)i\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \frac{(2 + 3i) - (1 + ki)}{(k + i) - (1 + ki)} = \frac{1 + (3-k)i}{(k-1) + (1-k)i}. Pentru ca acesta să fie real, partea imaginară trebuie să fie zero. Așadar, Im⁡(1+(3−k)i(k−1)+(1−k)i)=0\operatorname{Im}\left(\frac{1 + (3-k)i}{(k-1) + (1-k)i}\right) = 0. Simplificăm expresia și obținem ecuația (1)(1−k)−(3−k)(k−1)=0(1)(1-k) - (3-k)(k-1) = 0, care se reduce la (k−1)(k−2)=0(k-1)(k-2)=0, deci k=1k=1 sau k=2k=2. Verificăm pentru k=1k=1, numitorul devine 00, ceea ce nu este permis, deci k=2k=2 este singura soluție valabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.