MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, găsiți punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Verificați dacă funcția are un maxim sau minim global pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2. Studiați semnul derivatei întâi pentru a determina intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0 pentru a găsi punctele posibile de inflexiune: x=1x=1. Studiați semnul derivatei a doua pentru a determina intervalele de convexitate: ff este concavă pe (−∞,1](-\infty,1] și convexă pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Identificați extremele locale: folosind testul derivatei a doua, la x=0x=0, f′′(0)=−6<0f''(0)=-6<0, deci maxim local cu f(0)=2f(0)=2; la x=2x=2, f′′(2)=6>0f''(2)=6>0, deci minim local cu f(2)=−2f(2)=-2.
41 punct
Determinați punctul de inflexiune: la x=1x=1, f′′(x)f''(x) își schimbă semnul, deci x=1x=1 este punct de inflexiune cu f(1)=0f(1)=0.
51 punct
Verificați extremele globale pe [0,3][0,3]: calculați f(0)=2f(0)=2, f(2)=−2f(2)=-2, f(3)=2f(3)=2; deci maximul global este 22 atins la x=0x=0 și x=3x=3, iar minimul global este −2-2 atins la x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.