MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−2x+1)f(x) = e^{-x}(x^2 - 2x + 1). Să se determine: a) Intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune ale funcției ff. c) Valorile reale ale lui aa pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi f′(x)=e−x(−x2+4x−3)f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 3) și se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0, obținând punctele critice x=1x=1 și x=3x=3. Se studiază semnul derivatei întâi pe intervalele (−∞,1)(-\infty,1), (1,3)(1,3), (3,∞)(3,\infty) pentru a determina monotonía: crescătoare pe (1,3)(1,3), descrescătoare pe (−∞,1)(-\infty,1) și (3,∞)(3,\infty).
23 puncte
Se calculează derivata a doua f′′(x)=e−x(x2−6x+7)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 7) și se rezolvă ecuația f′′(x)=0f''(x)=0, obținând punctele de inflexiune x=3−2x=3-\sqrt{2} și x=3+2x=3+\sqrt{2}. Se studiază semnul derivatei a doua pentru a determina convexitatea: convexă în jos (concavă) pe (−∞,3−2)(-\infty,3-\sqrt{2}) și (3+2,∞)(3+\sqrt{2},\infty), convexă în sus pe (3−2,3+2)(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}).
34 puncte
Folosind studiul monotoniei și convexității, se analizează graficul funcției. Valorile funcției în punctele critice: f(1)=0f(1)=0, f(3)=4e−3f(3)=4e^{-3}. Ecuația f(x)=af(x)=a are trei soluții distincte dacă aa este între valoarea minimă locală și maximă locală, adică pentru 0<a<4e−30 < a < 4e^{-3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.